Author
Féjoz, Jacques
Kaczmarek, Laurent
Type
Article accepté pour publication ou publié
Abstract (FR)
Un point matériel soumis à une force centrale attractive dérivant d'un potentiel possède une famille à un paramètre d'orbites périodiques circulaires. Le théorème de Bertrand affirme que si toutes les orbites voisines de ces orbites circulaires sont périodiques, le potentiel est newtonien (proportionnel à 1/r, où r est la distance du point au centre attractif) ou élastique (en r2) (J. Bertrand. Comptes Rendus 77 (1873), 849–853). Nous calculons, sur une idée initiale de Michael Herman et pour un potentiel central générique, les deux premiers invariants de Birkhoff du système le long des orbites circulaires ; puis nous montrons comment le théorème de Bertrand s'en déduit.
Abstract (EN)
When a point mass undergoes a central, attractive, gradient force, there exists a one parameter family of circular periodic orbits. Bertrand's theorem asserts that if all the orbits close to these circular orbits are periodic then the potential is Newtonian (i.e. proportional to 1/r, where r is the distance to the fixed centre of attraction) or elastic (i.e. proportional to r2) (J. Bertrand. Comptes Rendus 77 (1873), 849–853). Following an idea of Michael Herman, we compute the first two Birkhoff invariants of this system along the circular trajectories for a generic potential; then we show how to derive Bertrand's theorem.
