Convex viscosity solutions and state constraints

Alvarez, Olivier; Lasry, Jean-Michel; Lions, Pierre-Louis

Alvarez, Olivier; Lasry, Jean-Michel; Lions, Pierre-Louis (1997), Convex viscosity solutions and state constraints, Journal de mathématiques pures et appliquées, 76, 3, p. 265-288. http://dx.doi.org/10.1016/S0021-7824(97)89952-7

Type

Article accepté pour publication ou publié

Date

1997

Journal name

Journal de mathématiques pures et appliquées

Volume

Number

Publisher

Elsevier

Pages

265-288

Abstract (FR)

On établit la convexité de solutions de viscosité d'équations elliptiques du seconda ordre, complètement non linéaires, avec contraintes d'état au bord. Notre méthode repose sur le principe de comparaison et sur l'observation que, sous des hypothèses convenables, l'enveloppe convexe d'une solution est une sursolution. Cette dernière propriété utilise une caractérisation du sous différentiel d'ordre deux (au sens de la théorie des solutions de viscosité) de l'enveloppe convexe d'une fonction coercive, semicontinue inférieurement. Des questions connexes sont traitées, comme la convexité partielle de solutions ou l'équation que doit vérifier la conjuguée d'une fonction convexe.

Abstract (EN)

We establish the convexity of a viscosity solution of some general second order fully nonlinear elliptic equation with state constraints boundary conditions. Our method combines a comparison principle with the observation that, under suitable assumptions, the convex envelope of the solution is a supersolution. This property relies on the characterization of the viscosity subject of the convex envelope of a lower semicontinuous coercive function. The equation solved by the conjugate of a convex solution as well as partial convexity are topics we also discuss.

Subjects / Keywords

convexity; partial convexity; convex envelope; conjugate function; elliptic equation; fully nonlinear equation; viscosity solution; state constraints boundary condition