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Convexity estimates for nonlinear elliptic equations and application to free boundary problems

Dolbeault, Jean; Monneau, Régis (2002), Convexity estimates for nonlinear elliptic equations and application to free boundary problems, Annales de l'Institut Henri Poincaré. Analyse non linéaire, 19, 6, p. 903-926. http://dx.doi.org/10.1016/S0294-1449(02)00106-3

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Type
Article accepté pour publication ou publié
Date
2002
Journal name
Annales de l'Institut Henri Poincaré. Analyse non linéaire
Volume
19
Number
6
Publisher
Elsevier
Pages
903-926
Publication identifier
Metadata
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Author(s)
Dolbeault, Jean cc
Monneau, Régis
Abstract (FR)
Nous démontrons la convexité de l'ensemble délimité par la frontière libre correspondant à une équation quasi-linéaire elliptique définie sur un domaine convexe en dimension 2. La méthode repose sur l'étude de la courbure des lignes de niveau aux points qui réalisent le maximum de la dérivée normale pour un niveau donné, pour des solutions analytiques d'équations elliptiques complètement non linéaires. La méthode donne aussi une estimation du gradient en fonction du minimum de la courbure (signée) du bord du domaine, qui n'est pas nécessairement supposé convexe.
Abstract (EN)
We prove the convexity of the set which is delimited by the free boundary corresponding to a quasi-linear elliptic equation in a 2-dimensional convex domain. The method relies on the study of the curvature of the level lines at the points which realize the maximum of the normal derivative at a given level, for analytic solutions of fully nonlinear elliptic equations. The method also provides an estimate of the gradient in terms of the minimum of the (signed) curvature of the boundary of the domain, which is not necessarily assumed to be convex.
Subjects / Keywords
Quasi-linear elliptic equations; Fully nonlinear elliptic equations; Free boundary; Gradient estimates; Fréchet formula; Curvature of level sets; Obstacle problem; Coincidence set