Abstract (FR)

Le contrôle optimal d’équations elliptiques ou paraboliques est un sujet classique et important de la théorie des équations aux dérivées partielles. Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats sur une question qualitative qui apparaît dans de nombreuses applications, notamment en biologie: supposons que l’on se donne un opérateur, elliptique ou parabolique, noté L, une non-linéarité f=f(t,x,u), abrégée en f(u), et un couplage ϕ(y,u)$ entre le contrôle y et l’état u. L’équation d’état est donnée par L u= f(u)+ϕ(y,u). On se donne une fonctionnelle de coût de la forme J(y)= ∫j(u) où l’intégrale est en espace, ou en espace et en temps, et où j peut également dépendre de x et t. La classe de contrôles admissibles est donnée par Y:={0≤y≤1, ∫Ωy=V0}c’est-à-dire par une contrainte L∞ et une contrainte L1. Enfin, le problème de contrôle optimal est maxy∈YJ(y). Une question naturelle est alors de savoir si les contrôle d’optimaux y∗ sont bang-bang, c’est-à-dire s’ils valent 0 ou 1 presque sûrement, ou si, au contraire, ils peuvent comporter des zones “anormales”, où ils prennent des valeurs entre (0;1). D’un point de vue théorique aussi bien que numérique, cette question a son importance. Je parlerai de deux classes de résultats: 1) D’abord, pour les contrôles bilinéaires, c’est-à-dire avec ϕ(y,u)=yu, je présenterai des travaux en collaboration avec G. Nadin et Y. Privat, qui indiquent que, si la fonctionnelle J est croissante (y≤y′ implique J(y)≤J(y′)), alors la propriété bang-bang est satisfaite, indépendamment des propriétés de concavité ou convexité de la non-linéarité f. Ces résultats constituent un analogue “contrôle” du théorème de Buttazzo-DalMaso.2) Ensuite, pour les contrôles linéaires, c’est-à-dire avec ϕ(y,u)=y, je présenterai des résultats obtenus avec G. Nadin et A. Toledo-Marrero qui montrent que la concavité de la non-linéarité f devient critique. J’expliquerai comment des développements multi-échelles nous permettent alors d’obtenir des informations plus fines sur le comportement des optimiseurs sur la zone anormale.