Abstract (FR)

Soit G = (V, E) un graphe simple non orienté et sans boucle. Nous notons |V | = n, |E| = m et ν(G) la cardinalité maximale d’un couplage. Nous définissons un d-bloqueur comme un ensemble d’arêtes B ⊂ E telque ν((V, E \ B)) ≤ ν(G) − d et un d-transversal comme un ensemble d’arêtes T ⊂ E tel que |M ∩ T| ≥ d pour tout couplage maximum M. Un d-bloqueur (resp. d-transversal) est dit minimum lorsque sa cardinalité |B| (resp. |T|) est minimale. Pour d = 1 un d-bloqueur (resp.transversal) est appelé bloqueur (resp. transversal). Ainsi un transversal correspond à un transversal de l’hypergraphe des couplages maximums de G. De cette façon, les problèmes de d-bloqueurs sont proches des problèmes qui consistent à oter un nombre minimum d’arêtes d’un graphe afin que le graphe partiel obtenu respecte une une propriété donnée. Nous montrons certaines propriétés reliant d-bloqueurs et d-transversaux : tout d-bloqueur est un d-transversal ; il existe des d-transversaux qui ne sont pas des d-bloqueurs. Concernant la complexité algorithmique, nous montrons que pour tout d ∈ {1, . . . , ν(G)}, la recherche d’un d-bloqueur (resp.d-transversal) minimum est un problème NP-difficile même lorsque G est biparti. Nous montrons ensuite comment déterminer un d-bloqueur (resp. d-transversal) minimum lorsque G est une grille ou un arbre : pour une grille de dimension m × n la cardinalité d’un d-bloqueur (resp. d-transversal) minimum est obtenue par une formule close dépendant de d, m, n ; elle est obtenue en utilisant la programmation dynamique dans le cas d’un arbre.