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Symmetry breaking in the periodic Thomas–Fermi–Dirac–von Weizsäcker model

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Date
2017
Titre de la collection
Cahier de recherche CEREMADE, Université Paris-Dauphine
Lien vers un document non conservé dans cette base
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01487352
Indexation documentaire
Sciences connexes (physique, astrophysique)
Subject
Thomas–Fermi–Dirac–von Weizsäcker model; Schrödinger equation
URI
https://basepub.dauphine.fr/handle/123456789/17575
Collections
  • CEREMADE : Publications
Métadonnées
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Auteur
Ricaud, Julien
60 CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision [CEREMADE]
Type
Document de travail / Working paper
Nombre de pages du document
41
Résumé en anglais
We consider the Thomas--Fermi--Dirac--von~Weizsäcker model for a system composed of infinitely many nuclei placed on a periodic lattice and electrons with a periodic density. We prove that if the Dirac constant is small enough, the electrons have the same periodicity as the nuclei. On the other hand if the Dirac constant is large enough, the 2-periodic electronic minimizer is not 1-periodic, hence symmetry breaking occurs. We analyze in detail the behavior of the electrons when the Dirac constant tends to infinity and show that the electrons all concentrate around exactly one of the 8 nuclei of the unit cell of size 2, which is the explanation of the breaking of symmetry. Zooming at this point, the electronic density solves an effective nonlinear Schrödinger equation in the whole space with nonlinearity $u^{7/3}-u^{4/3}$. Our results rely on the analysis of this nonlinear equation, in particular on the uniqueness and non-degeneracy of positive solutions.

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