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Regularity of Minimizers of Shape Optimization Problems involving Perimeter

De Philippis, Guido; Lamboley, Jimmy; Pierre, Michel; Velichkov, Bozhidar (2016), Regularity of Minimizers of Shape Optimization Problems involving Perimeter, Journal de mathématiques pures et appliquées, 109, January 2018, p. 147-181. 10.1016/j.matpur.2017.05.021

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Type
Article accepté pour publication ou publié
Date
2016
Journal name
Journal de mathématiques pures et appliquées
Volume
109
Number
January 2018
Publisher
Bachelier
Pages
147-181
Publication identifier
Metadata
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Author(s)
De Philippis, Guido
Unité de Mathématiques Pures et Appliquées [UMPA-ENSL]
Lamboley, Jimmy
CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision [CEREMADE]
Pierre, Michel
Institut de Recherche Mathématique de Rennes [IRMAR]
Velichkov, Bozhidar cc
Laboratoire Jean Kuntzmann [LJK]
Abstract (FR)
On démontre l'existence et la régularité des formes optimales pour le problème min{P(Ω)+G(Ω): Ω⊂D, |Ω|=m}, où P désigne le périmètre |⋅| et le volume, et où la fonctionnelle G est l'une des suivantes : • l'énergie de Dirichlet Ef, associée à une fonction f∈Lp qui peut changer de signe ; • une fonctionnelle spectrale de la forme F(λ1,…,λk), où λk est la k-ième valeur propre du laplacien de Dirichlet et où F:Rk→R est localement lipschitzienne et strictement croissante en chacune des variables. Le domaine D est soit Rd tout entier, soit un domaine borné. Nous donnons également des conditions générales sur la fonctionnelle G pour que les résultats restent valides.
Abstract (EN)
We prove existence and regularity of optimal shapes for the problem min{P(Ω)+G(Ω): Ω⊂D, |Ω|=m}, where P denotes the perimeter, |⋅| is the volume, and the functional G is either one of the following: the Dirichlet energy Ef, with respect to a (possibly sign-changing) function f∈Lp; a spectral functional of the form F(λ1,…,λk), where λk is the kth eigenvalue of the Dirichlet Laplacian and F:Rk→R is Lipschitz continuous and increasing in each variable. The domain D is the whole space Rd or a bounded domain. We also give general assumptions on the functional G so that the result remains valid.
Subjects / Keywords
Shape optimization; spectral theory; free boundary; regularity