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On logarithmic Sobolev inequalities for the heat kernel on the Heisenberg group

Bonnefont, Michel; Chafaï, Djalil; Herry, Ronan (2020), On logarithmic Sobolev inequalities for the heat kernel on the Heisenberg group, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques. Série 6, 29, 2, p. 335-355. 10.5802/afst.1633

View/Open
heis.pdf (319.3Kb)
Type
Article accepté pour publication ou publié
Date
2020
Journal name
Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques. Série 6
Volume
29
Number
2
Pages
335-355
Publication identifier
10.5802/afst.1633
Metadata
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Author(s)
Bonnefont, Michel

Chafaï, Djalil cc
CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision [CEREMADE]
Herry, Ronan
Abstract (FR)
Dans cette note, nous obtenons une inégalité de Sobolev logarithmique nouvelle pour le noyau de la chaleur sur le groupe de Heisenberg. La preuve est inspirée de la méthode historique de Leonard Gross à base de théorème limite central pour une marche aléatoire. Ici la nature non commutative des incréments produit un nouveau gradient qui fait intervenir naturellement un pont brownien sur le groupe de Heisenberg. Cette nouvelle inégalité contient l’inégalité de Sobolev logarithmique optimale pour la mesure gaussienne en deux dimensions. Nous comparons cette nouvelle inégalité avec l’inégalité sous-elliptique de Hong-Quan Li et avec les inégalités plus récentes de Fabrice Baudoin et Nicola Garofalo obtenues avec un critère de courbure généralisé. Enfin nous étendons notre inégalités au cas des groupes de Carnot homogène de rang deux.
Abstract (EN)
In this note, we derive a new logarithmic Sobolev inequality for the heat kernel on the Heisenberg group. The proof is inspired from the historical method of Leonard Gross with the Central Limit Theorem for a random walk. Here the non commutativity of the increments produces a new gradient which naturally involves a Brownian bridge on the Heisenberg group. This new inequality contains the optimal logarithmic Sobolev inequality for the Gaussian distribution in two dimensions. We show that this new inequality is close to the symmetrized version of the sub-elliptic logarithmic Sobolev inequality of Hong-Quan Li on the Heisenberg group, seen as a weighted inequality. We show furthermore that a semigroup approach can produce such weighted inequalities.
Subjects / Keywords
Heisenberg group; Heat kernel; Brownian Motion; Poincaré inequality; Logarithmic Sobolev inequality; Random Walk; Central Limit Theorem

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