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Interpolation inequalities on the sphere: linear vs. nonlinear flows

Dolbeault, Jean; Esteban, Maria J.; Loss, Michael (2017), Interpolation inequalities on the sphere: linear vs. nonlinear flows, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques. Série 6, 26, 2, p. 351-379. 10.5802/afst.1536

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Type
Article accepté pour publication ou publié
Date
2017
Nom de la revue
Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques. Série 6
Volume
26
Numéro
2
Pages
351-379
Identifiant publication
Métadonnées
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Auteur(s)
Dolbeault, Jean cc

Esteban, Maria J. cc

Loss, Michael
Résumé (FR)
Cet article est consacré à des inégalités d’interpolation optimales sur la sphère et à leur preuve par des flots. La méthode explique aussi certains résultats de rigidité et permet de prouver l’unicité dans des équations elliptiques semilinéaires associées. Les flots non-linéaires permettent de couvrir tout l’intervalle des exposants entre l’inégalité de Poincaré et l’inégalité de Sobolev, tandis qu’une limitation intrigante (une limite supérieure de l’exposant) apparaît dans la méthode du carré du champ basée sur le flot de la chaleur. Nous étudions cette limitation, décrivons un contre-exemple pour les exposants qui sont au-dessus de la borne, et obtenons des améliorations en-dessous.
Résumé (EN)
This paper is devoted to sharp interpolation inequalities on the sphere and their proof using flows. The method explains some rigidity results and proves uniqueness in related semilinear elliptic equations. Nonlinear flows allow to cover the interval of exponents ranging from Poincaré to Sobolev inequality, while an intriguing limitation (an upper bound on the exponent) appears in the carré du champ method based on the heat flow. We investigate this limitation, describe a counter-example for exponents which are above the bound, and obtain improvements below.
Mots-clés
semilinear elliptic equations; spectral gap inequality; Poincaré inequality; optimal constants; carré du champ method; uniqueness; heat flow; nonlinear diffusion; improved inequalities; flows; Interpolation; functional inequalities; rigidity results; inégalités fonctionnelles; flots; constantes optimales; équations elliptiques semi-linéaires; rigidité; unicité; méthode du carré du champ; condition CD(ρ,N); équation de la chaleur; diffusion non-linéaire; inégalité de trou spectral; inégalité de Poincaré; inégalités améliorées