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Variational and viscosity solutions of the Hamilton-Jacobi equation

dc.contributorParis Sciences et Lettres
dc.contributor.advisorBernard, Patrick
dc.creatorRoos, Valentine
dc.date.accessioned2017-11-16T13:18:30Z
dc.date.available2017-11-16T13:18:30Z
dc.date.issued2017-06-30
dc.identifier.urihttps://basepub.dauphine.fr/handle/123456789/16992
dc.description.abstractfrOn étudie l'équation de Hamilton-Jacobi évolutive du premier ordre, couplée avec une donnée initiale lipschitzienne. Le but est de comparer les solutions de viscosité et les solutions variationnelles pour cette équation, deux notions de solutions faibles qui coïncident en dynamique hamiltonienne convexe. Pour travailler dans un cadre pertinent pour les deux types de solutions, on doit d’abord construire une solution variationnelle sans hypothèse de compacité sur la variété ou le hamiltonien étudiés. On retrace dans ce cas la construction historique des solutions variationnelles, en détaillant les propriétés de la famille génératrice obtenue par la méthode des géodésiques brisées. Il en découle des estimées permettant d’obtenir la solution de viscosité à partir de la solution variationnelle par un procédé d’itération. Après avoir vérifié que la solution variationnelle construite coïncide effectivement avec la solution de viscosité pour un Hamiltonien convexe, on caractérise les Hamiltoniens intégrables pour lesquels cette propriété persiste, en étudiant attentivement des exemples élémentaires en dimension 1 et 2.fr
dc.language.isoen
dc.subjectÉquation de Hamilton-Jacobifr
dc.subjectDynamique hamiltonienne non convexefr
dc.subjectSolutions de viscositéfr
dc.subjectSolutions variationnellesfr
dc.subjectFronts d'ondefr
dc.subjectFamilles génératricesfr
dc.subjectSélecteur minmaxfr
dc.subjectHamilton-Jacobi equationen
dc.subjectNonconvex Hamiltonian dynamicsen
dc.subjectViscosity solutionsen
dc.subjectVariational solutionsen
dc.subjectWavefrontsen
dc.subjectGenerating familiesen
dc.subjectMinmax selectoren
dc.subject.ddc511
dc.titleSolutions variationnelles et solutions de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobifr
dc.titleVariational and viscosity solutions of the Hamilton-Jacobi equationen
dc.typeThèse
dc.description.abstractenWe study the first order Hamilton-Jacobi equation associated with a Lipschitz initial condition. The purpose of this thesis is to compare two notions of weak solutions for this equation, namely the viscosity solution and the variational solution, that are known to coincide in convex Hamiltonian dynamics. In order to work in a relevant framework for both notions, we first need to build a variational solution without compactness assumption on the manifold or the Hamiltonian. To do so, we follow the historical construction, detailing properties of the generating family obtained via the broken geodesics method. Local estimates allow to prove that the viscosity solution can be obtained from the variational solution via an iterative process. We then check that this construction gives effectively the viscosity solution for a convex Hamiltonian, and characterize the integrable Hamiltonians for which this property persists by carefully studying elementary examples in dimension 1 and 2.en
dc.identifier.theseid2017PSLED023
dc.subject.ddclabelPrincipes généraux des mathématiquesfr


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