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Numerical Methods for Multi-Marginal Optimal Transportation

Méthodes numériques pour le transport optimal multi-marges

Nenna, Luca (2016), Numerical Methods for Multi-Marginal Optimal Transportation, doctoral thesis prepared under the supervision of Benamou, Jean-David; Carlier, Guillaume, Université Paris Dauphine

View/Open
2016PSLED017.pdf (12.89Mb)
Type
Thèse
Date
2016-12
Metadata
Show full item record
Author(s)
Nenna, Luca
Under the direction of
Benamou, Jean-David; Carlier, Guillaume
Abstract (FR)
Dans cette thèse, notre but est de donner un cadre numérique général pour approcher les solutions des problèmes du transport optimal (TO). L’idée générale est d’introduire une régularisation entropique du problème initial. Le problème régularisé correspond à minimiser une entropie relative par rapport à une mesure de référence donnée. En effet, cela équivaut à trouver la projection d’un couplage par rapport à la divergence de Kullback-Leibler. Cela nous permet d’utiliser l’algorithme de Bregman/Dykstra et de résoudre plusieurs problèmes variationnels liés au TO. Nous nous intéressons particulièrement à la résolution des problèmes du transport optimal multi-marges (TOMM) qui apparaissent dans le cadre de la dynamique des fluides (équations d’Euler incompressible à la Brenier) et de la physique quantique (la théorie de fonctionnelle de la densité ). Dans ces cas, nous montrons que la régularisation entropique joue un rôle plus important que de la simple stabilisation numérique. De plus, nous donnons des résultats concernant l’existence des transports optimaux (par exemple des transports fractals) pour le problème TOMM.
Abstract (EN)
In this thesis we aim at giving a general numerical framework to approximate solutions to optimal transport (OT) problems. The general idea is to introduce an entropic regularization of the initialproblems. The regularized problem corresponds to the minimization of a relative entropy with respect a given reference measure. Indeed, this is equivalent to find the projection of the joint coupling with respect the Kullback-Leibler divergence. This allows us to make use the Bregman/Dykstra’s algorithm and solve several variational problems related to OT. We are especially interested in solving multi-marginal optimal transport problems (MMOT) arising in Physics such as in Fluid Dynamics (e.g. incompressible Euler equations à la Brenier) and in Quantum Physics (e.g. Density Functional Theory). In these cases we show that the entropic regularization plays a more important role than a simple numerical stabilization. Moreover, we also give some important results concerning existence and characterization of optimal transport maps (e.g. fractal maps) for MMOT .
Subjects / Keywords
Transport optimal; Transport Optimal Multi-Marges; Régularisation entropique; Algorithme de Bregman; Algorithme de Dykstra; Équations d’Euler; Tfd; Problème de Schrödinger; Map fractale; Cournot-Nash; Transport Partiel; Contrainte de capacité; Barycentre de Wasserstein; Optimal transport; Multi-Marginal Optimal transport; Entropic regularization; Dykstra algorithm; Bregman algorithm; Euler equations; Dft; Schrödinger problem; Fractal map; Cournot-Nash; Partial transport; Capacity constraint; Wasserstein barycenter

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