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Various aspects of random trees : from fragmentation trees to infinite planar maps

dc.contributor.advisorHaas, Bénédicte
hal.structure.identifier
dc.contributor.authorStephenson, Robin*
dc.date.issued2014-06-27
dc.identifierhttp://basepub.dauphine.fr/theses/2014PA090024
dc.identifierhttps://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01077800
dc.identifierhttp://www.theses.fr/2014PA090024
dc.identifier2014PA090024
dc.description.abstractfrNous nous intéressons à trois problèmes issus du monde des arbres aléatoires discrets et continus. Dans un premier lieu, nous faisons une étude générale des arbres de fragmentation auto-similaires, étendant certains résultats de Haas et Miermont en 2006, notamment en calculant leur dimension de Hausdorff sous des hypothèses malthusiennes. Nous nous intéressons ensuite à une suite particulière d’arbres discrets k-aires, construite de manière récursive avec un algorithme similaire à celui de Rémy de 1985. La taille de l’arbre obtenu à la n-ième étape est de l’ordre de n^(1/k), et après renormalisation, on trouve que la suite converge en probabilité vers un arbre de fragmentation. Nous étudions également des manières de plonger ces arbres les uns dans les autres quand k varie. Dans une dernière partie, nous démontrons la convergence locale en loi d’arbres de Galton-Watson multi-types critiques quand on les conditionne à avoir un grand nombre de sommets d’un certain type fixé. Nous appliquons ensuite ce résultat aux cartes planaires aléatoire pour obtenir la convergence locale en loi de grandes cartes de loi de Boltzmann critique vers une carte planaire infinie.
dc.languagefr
dc.subjectArbres réels
dc.subjectArbres aléatoires
dc.subjectArbres de fragmentation
dc.subjectFragmentations auto-similaires
dc.subjectDimension de Hausdorff
dc.subjectTopologie de Gromov-Hausdorff-Prokhorov
dc.subjectLimites d’échelle
dc.subjectArbres de Galton-Watson multitypes
dc.subjectCartes planaires aléatoires
dc.subjectR-trees
dc.subjectRandom trees
dc.subjectFragmentation trees
dc.subjectSelf-similar fragmentations
dc.subjectHausdorff dimension
dc.subjectGromov-Hausdorff-Prokhorov topology
dc.subjectScaling limits
dc.subjectMulti-type Galton-Watson trees
dc.subjectRandom planar maps
dc.subject.ddc519
dc.titleDivers aspects des arbres aléatoires : des arbres de fragmentation aux cartes planaires infiniesfr
dc.titleVarious aspects of random trees : from fragmentation trees to infinite planar mapsen
dc.typeThèse
dc.subject.classificationrameauProbabilités combinatoires
dc.subject.classificationrameauArbres (théorie des graphes)
dc.subject.classificationrameauGraphes aléatoires
dc.subject.classificationrameauProcessus stochastiques
dc.contributor.editoruniversityUniversité Paris Dauphine
dc.description.abstractenWe study three problems related to discrete and continuous random trees. First, we do a general study of self-similar fragmentation trees, extending some results established by Haas and Miermont in 2006, in particular by computing the Hausdorff dimension of these trees under some Malthusian hypotheses. We then work on a particular sequence of k-ary growing trees, defined recursively with a similar method to Rémy’s algorithm from 1985. We show that the size of the tree obtained at the n-th step if of order n^(1/k), and, after renormalization, we prove that the sequence convergences to a fragmentation tree. We also study embeddings of the limiting trees as k varies. In the last chapter, we show the local convergence in distribution of critical multi-type Galton-Watson trees conditioned to have a large number of vertices of a fixed type. We then apply this result to the world of random planar maps, obtaining that large critical Boltzmann-distributed maps converge locally in distribution to an infinite planar map.
dc.identifier.theseid2014PA090024
dc.subject.ddclabelProbabilités et mathématiques appliquées
hal.author.functionaut


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